Все постеры верны: вы должны использовать String.equals ().
Также вы должны полностью понимать обработку строк в Java. Вам это понадобится везде.
Даже если использовать String.equals, Java предлагает некоторую «магию», которая работает даже при вашем сравнении. Продолжайте учиться!
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String text = "";
"stop".intern();
do {
System.out.println("Please enter a string: ");
text = br.readLine().intern();
System.out.println(text);
} while (text != "stop");
}