В принципе, вы не можете.Вернее, это сложно.Для запуска апплета требуется создание AppletContext и управление жизненным циклом апплета.
Лучшим подходом было бы перенести весь код, который есть в вашем апплете, на JPanel.Затем создайте простой апплет, который просто создает панель.
Затем, когда вы захотите открыть другую панель, создайте JFrame и заполните его соответствующей панелью.