Сеанс в php (и в большинстве веб-технологий) работает так:
Вы сохраняете идентификатор сеанса в файле cookie на клиентском компьютере.
Когда клиент заходит на ваш сайт, он отправляет вам идентификатор сессии.
Сервер находит данные сеанса в файле с идентификатором сеанса и загружает его.
То есть закрытие браузера не влияет на сеанс, но если браузер очищает куки при закрытии (я не думаю, что какой-либо браузер делает это).
Если вы хотите быть уверены, что пользователь всегда вошел в систему, вы можете сохранить его имя пользователя / пароль в его файлах cookie, но это не совсем безопасно.