Если ваш текст действительно так прост, вы можете сделать .split()
на <br>
var str = "This is my text<br>This is my second line of text"
var result = str.split('<br>')[0];
Если это более сложно, возможно, стоит использовать встроенный в браузер HTML-парсер, чтобы вы могли работать с ними, как с узлами DOM.
В этом случае это может выглядеть так:
var div, result, str = "This is my text<br>This is my second line of text";
(div = document.createElement('div')).innerHTML = str;
var result = div.firstChild.data;
... или, возможно, немного проще с jQuery:
var str = "This is my text<br>This is my second line of text"
var result = $('<div>',{html:str}).contents().first().text();