Эффективная оценка гипергеометрических функций

Question

Кто-нибудь имеет опыт работы с алгоритмами оценки гипергеометрических функций? Мне были бы интересны общие ссылки, но я опишу свою конкретную проблему на случай, если кто-то с ней справится.

Моя конкретная проблема - оценка функции вида 3F2 (a, b, 1; c, d; 1), где a, b, c и d - все положительные вещественные числа, а c + d> a + b + 1 , Есть много особых случаев, которые имеют формулу замкнутой формы, но, насколько я знаю, таких формул вообще нет. Степенной ряд с центром в нуле сходится в 1, но очень медленно; соотношение последовательных коэффициентов доходит до 1 в пределе. Может быть, что-то вроде ускорения Айткена поможет?

Answer 1

Я проверил ускорение Aitken, и оно, похоже, не помогает в этой проблеме (равно как и экстраполяция Ричардсона). Это, вероятно, означает, что приближение Паде тоже не работает. Хотя, возможно, я сделал что-то не так, поэтому непременно попробуй это сам.

Я могу придумать два подхода.

Один из них - оценить ряд в некоторой точке, такой как z = 0,5, где сходимость быстрая, чтобы получить начальное значение, а затем перейти к z = 1, подключив гипергеометрическое дифференциальное уравнение в решатель ODE. , Я не знаю, насколько хорошо это работает на практике; это может не произойти, поскольку z = 1 является сингулярностью (если я правильно помню).

Второй - использовать определение 3F2 в терминах G-функции Мейера . Интеграл контура, определяющий G-функцию Мейера, может быть оценен численно путем применения гауссовой или дважды экспоненциальной квадратуры к сегментам контура. Это не очень эффективно, но оно должно работать, и оно должно масштабироваться с относительно высокой точностью.

Answer 2

Правильно ли, что вы хотите суммировать ряд, в котором вы знаете соотношение последовательных терминов и это рациональная функция?

Я думаю, Алгоритм Госпера и остальные инструменты для доказательства гипергеометрических тождеств (и их нахождения) делают именно это, верно? (См. Книгу Уилфа и Зильбергера A = B онлайн. )