Поскольку FindControl не является рекурсивным (как упоминается @ GenericTypeTea ), вы можете либо создать метод расширения для UserControl, который является рекурсивным для достижения этой цели, либо предоставить открытое свойство в вашем UserControl, которое возвращает кнопку какссылка.Тогда вы сможете использовать:
ChildControl.MyButtonProperty.Click += new EventHandler(this.SearchButton_Click);
Метод рекурсивного расширения может быть более полезным в долгосрочной перспективе, если это общая проблема.
Редактировать Кроме того, поскольку вы делаете это в Page_Init, кнопка не может быть инициализирована в дочернем элементе управления, так как init дочернего элемента управления вызывается после init страницы.Может потребоваться выполнить это действие в событии InitComplete.