По идее можно.На практике браузеры действительно очень агрессивно кешируют его.Лучше всего разместить файл favicon вне корневой папки (чтобы предотвратить автоматический поиск) и вручную определить его в <head>
вместе с ежедневной изменяющейся отметкой времени в строке запроса URL-адреса favicon.Например,
<link rel="shortcut icon" type="image/x-icon" href="/images/favicon.ico?3213256">
О, сама HTML-страница также должна иметь меньше или больше одинаковых настроек управления кэшем, иначе браузер будет запрашивать саму страницу из кэша и, следовательно, никогда не обновлять значок.