Во-первых, ваш HTML неполон. Это выглядит так:
<div class="home-page" id='entity-1'>
<div class="index-page-category"></div>
<a href="/entities/category/food" class="tag_links">food</a>
</div>
Или вот так:
<div class="home-page" id='entity-1'>
<div class="index-page-category">
<a href="/entities/category/food" class="tag_links">food</a>
</div>
</div>
В любом случае, вы сможете достичь этого, используя:
$$('a.tag_links').each(function(s) {
var divId = $(s).previous('div.home-page').id;
});
Я предполагаю, что причина, по которой вы перебираете 'a.tag_links', в том, что у вас есть куча ссылок? Исходя из этого контекста, всегда ли эта структура HTML непротиворечива (внешний div всегда будет содержать класс 'home-page')?