Вы получите случайное целое число для индекса, а затем просто передадите полученный объект в свойство text UILabel, например:
//assuming you already have an NSArray of strings
myLabel.text = [arrayOfString objectAtIndex:arc4random() % [arrayOfString count]];
Вы бы поместили приведенный выше код в метод, который вызывает кнопка при нажатии.
РЕДАКТИРОВАТЬ: В соответствии с просьбой, вот простой проект Xcode .
(ПРИМЕЧАНИЕ. Поскольку это случайно, есть вероятность, что вы получите тот же текст, поэтому может показаться, что текст не меняется, он меняется, но меняется на тот же текст, что и раньше, которого вы не видите)