Хотя это обходной способ, создайте и создайте экземпляр JavascriptInterface, который будет вызываться с веб-страницы Javascript. Установите этот интерфейс Javascript для вашего Webview, используя
webSettings.setJavascriptEnabled(true);
и
webView.addJavascriptInterface(new JavaScriptInterfaceImplementation(), INTERFACE_NAME);
На вашей веб-странице вы затем вызываете
javascript:INTERFACE_NAME.yourSessionClearingMethod();
, который должен содержать
CookieManager cookieManager = CookieManager.getInstance();
cookieManager.removeAllCookie(); // or cookieManager.removeSessionCookie();
для удаления указанных нежелательных файлов cookie.