Проблема не в получении значения, а в ловушке есть две вещи:
document.getElementById('gene').onclick = xmlhttpPost("generador.php");
... вы можете подумать, что вы задали что-то для выполнения события onclick кнопки, но это не так.
Эта функция будет выполнена немедленно, а не по щелчку.
Вы должны написать это так:
document.getElementById('gene').onclick = function(){xmlhttpPost("generador.php");}
Другая проблема:
тип по умолчанию <button>
- submit, поэтому, если вы нажмете кнопку, форма будет отправлена.
Вы можете либо установить тип кнопки как «кнопка», либо отменить отправку формы через javascript, иначе ваш AJAX-запрос бесполезен, поскольку форма будет отправлена (и страница будет перезагружена)