из Документации Javamail API
"Закрыть эту службу и разорвать ее соединение. Закрытое ConnectionEvent доставляется любым ConnectionListeners. Любые компоненты обмена сообщениями (папки, сообщения и т. Д.).) принадлежащие этой службе недействительны после закрытия этой службы. Обратите внимание, что служба закрывается, даже если этот метод завершается ненормально, вызывая исключение MessagingException. "
Таким образом, вы можете оставить папку открытой, но еслиВы попробуйте второй раз folder.open, у вас будет исключение, в этом должны использовать:
if(!folder.isOpen()){folder.open();}
Я надеюсь, что вам поможет