Похоже, ваш .pro файл настроен неправильно.
Источником вашей ошибки является компилятор, который выдает неправильные каталоги включения - вот почему QtCore не может быть найден.
Это может произойти, если вы не используете qmake (а вместо этого простой Makefile), CMake и неправильно настроили его и т. Д. И т. Д. Если честно, у этого может быть много причин.
Можете ли вы опубликовать содержимое вашего .pro-файла или Makefile? И расскажите нам немного больше о как вы на самом деле начинаете компиляцию?