Хорошо, я понял это. Tomcat работает под управлением Windows 2003 Server. Я обнаружил, что когда Tomcat запускается под службами Windows, по какой-то причине он не имеет доступа к подключенному сетевому диску.
Использование путей UNC работало для меня.
File myFile = new File("\\\\server\\shared\\input");
myFile.mkdir();
Мне удалось создать папку на подключенном сетевом диске на этом сервере.