Вне любой функции в исходном файле записать:
const QString ClassName::ALARM_WARNING_IMAGE = "warning.png";
Заголовок:
class ClassName {
static const QString ALARM_WARNING_IMAGE;
};
Кроме того, не пишите ничего в конструкторе. Это будет инициализировать статическую переменную каждый раз, когда создается экземпляр ClassName ... что не работает, потому что переменная const ... плохая идея, так сказать. Констант может быть установлен только один раз во время объявления.