Используя PHP, как я могу сделать так, чтобы срок действия cookie истек после закрытия браузера?
Только не устанавливайте время истечения. Это сделает сессионный cookie-файл.
Это упоминается в документации для аргумента expire для setcookie :
Если установлено значение 0 или опущено, срок действия файла cookie истекает в конце сеанса (при закрытии браузера).