Windows нужно знать, где найти файл, поэтому вам нужно как-то указать, что:
Либо используя абсолютный путь:
Process.Start("C:\\1.txt");
, либо установите текущий каталог:
Environment.CurrentDirectory = "C:\\";
Process.Start("1.txt");
Обычно CurrentDirectory
устанавливается в местоположение исполняемого файла.
[Редактировать]
Если файл находится в том же каталоге, где находится исполняемый файл, вы можете использовать код, подобный этому:
var directory = Path.GetDirectoryName(Assembly.GetEntryAssembly().Location);
var file = Path.Combine(directory, "1.txt");
Process.Start(file);