Как объяснил Эндрю, вам нужно вызвать событие.
Но как только вы получите результат от запроса ajax, лучше снова показать результаты, а не запрашивать сервер снова.Значение minLength не зависит, может быть равно 2, как рекомендуется для запросов к серверу.
$("input").autocomplete({
minLength: 2,
/* your options */
}).on("focus", function () {
/* the element with the search results */
var uid = $("#ui-id-"+$(this).autocomplete("instance").uuid);
if(uid.html().length == 0) {
/* same as $(this).autocomplete("search", this.value); */
$(this).keydown();
}
else {
uid.show();
}
});