Вы можете просто использовать привязку вместо ввода формы:
<style type="text/javascript">
function submitForm() {
document.getElementById('search').submit();
}
</style>
<form id="search" method="GET">
<input type="text" name="q" id="q" />
<a href="javascript: submitForm();">Submit</a>
</form>
Или вы можете добавить в форму onsubmit и использовать javascript для отключения поля ввода, которое не должно отображаться в URL.