Вам нужно запустить:
visudo
проверьте, что у вас есть строка типа
Host_Alias LOCAL=192.168.0.1
с вашим собственным локальным IP-адресом вверху файла, затем добавьте строку
www-data LOCAL=NOPASSWD:/usr/bin/service
И последнее в вашем PHP-файле:
exec("/usr/bin/sudo /usr/bin/service apache2 restart");
(Вы пытаетесь перезапустить apache через Интернет, может быть, вы не знаете, webmin интерфейс? Я думаю, что есть лучшие решения, чем этот способ sudo. Неправильно разрешать www-data останавливать , запустите (...) все службы. Лучше объясните, почему вы хотите перезапустить apache;))