Как посчитать количество отправленных писем?
Вы не делаете. Это зависит от пользователя. Создайте свое приложение так, чтобы вам было все равно, отправляет ли пользователь электронное письмо или нет.
Если характер вашего приложения таков, что вам абсолютно необходимо знать, отправлено ли электронное письмо, вставьте отправку электронной почты прямо в ваше приложение. Где-то есть порт JavaMail для Android, IIRC. Это может потребовать, чтобы вы получили учетную запись электронной почты пользователя и пароль, который они не захотят дать вам. Поэтому я рекомендую вам разработать свое приложение таким образом, чтобы вам было все равно, отправляет ли пользователь электронное письмо или нет.