Ну, вы спрашиваете совсем немного (хотя очень мало в деталях).
Вы хотите изучить REST API, который обрабатывает как минимум GET и POST. Он должен возвращать данные JSON.
Затем вы можете использовать вызовы AJAX с сайта клиента на ваш API (не уверен, почему вы считаете, что на вашем сайте должен быть JS, это требование неясно).
Как уже упоминалось, вызов JS на разных сайтах представляет угрозу безопасности, поэтому вам придется использовать JSONP.
Вы получите лучшие ответы с этого сайта, если будете задавать более конкретные вопросы.