Как и любая обычная обработка форм. Разница в том, что вы обычно возвращаете JSON вместо HTML, когда это API для использования с AJAX-запросами:
<?php
header("Content-Type: application/json");
print json_encode(array("sum" => $_GET["a"] + $_GET["b"]));
Это было бы простым дополнением API. Что, очевидно, глупый пример. Это очень сильно зависит от того, чего вы хотите достичь с помощью вашего API, и от того, какие данные на самом деле обрабатывает ваш сайт.