Мне кажется, что вас просят не сортировать строковый массив, а печатать строки в алфавитном порядке, что, вероятно, будет намного страшнее, но намного проще.
Как только пользователь наберет все входные строки, вы можете выбрать итерацию по массиву stringCount
раз, найдя в каждой итерации строку с наименьшим значением; печать его; а затем очистите его, чтобы вы не увидели его в следующей итерации.
НО если вас действительно просят применить к массиву пузырьковую сортировку (или любой вид сортировки), ну, в общем-то, это еще один вопрос, а именно: как я могу написать пузырьковую сортировку для массива строк. Это непростая задача для всех, потому что строки в массиве имеют разную длину: их нельзя просто поменять местами вслепую, а нужно записать в какой-нибудь временный массив где-нибудь, который каким-то образом знает, как разместить их различные длины.
РЕДАКТИРОВАТЬ: О, подождите секунду: возможно, Java знает все о строках переменной длины и о том, как их обрабатывать. Если так, я все заберу обратно.