Является ли сертификат действительным или нет, на самом деле не имеет значения. Если при просмотре сайта обнаружен недействительный сертификат, большинство браузеров сообщит пользователю, что сертификат является недействительным, и позволит пользователю определить, хотят они продолжить или нет.
Что касается «безопасной» части файла cookie, все, что он делает, это сообщает браузеру, что файл cookie действителен только для соединений https и не должен передаваться через обычные соединения http.
Это означает, что да, ваш сервер должен получить cookie-файл обратно из браузера, при условии, что доступ к URL-адресу является https URL. Даже если сертификат сервера недействителен.