Вам нужно два отдельных сеанса браузера, возможно, для хранения файлов cookie в разных местах (если вы хотите запомнить, кто вошел в систему), чтобы войти на эти сайты как два пользователя одновременно. Некоторые из них даже освободят сессии, изучив IP-адрес; если один и тот же IP-адрес имеет два или более открытых сеанса, все, кроме самого младшего, отбрасываются.
Идея в том, что компьютер используется одним человеком, и этот человек должен быть одним пользователем и взаимодействовать с веб-приложением за один сеанс. Это позволяет максимально эффективно использовать ресурсы. Существуют очень простые способы применения этой серверной стороны, которые сложно "отыграть" на стороне клиента.