К сожалению, не существует простого способа сделать это, и это то, что PHP и веб-разработчики в целом порочили годами, потому что заполнение полей формы никогда не бывает легким И чистым.
Значения в форме, которую вы не отправляете, не будут отправлены (через GET или POST), поэтому вам остается написать собственный обходной путь.
Хотя это и немного вопросов и ответов, я бы порекомендовал отправить вызов Ajax в форму отправки, чтобы сохранить значения для второй формы в переменной $ _SESSION.
Извините, что нет легкой альтернативы - из-за природы HTTP-запросов без сохранения состояния каждый программист должен бороться с этим.