Немного поздно, но на случай, если кому-то еще это понадобится.Я нашел способ обойти API: если сначала установить текущую вкладку на закрепленный, а затем создать / удалить / выбрать другие вкладки в других окнах, затем открепить текущую вкладку, текущая вкладка останется открытой, и в результате всплывающее окноне близко.
chrome.tabs.query({currentWindow: true, active: true}, function(tabs){
const currentTab = tabs[0];
// pin the current tab:
chrome.tabs.update(currentTab.id, {pinned: true}, function(t){
// do what you need to do here:
chrome.tabs.update(someTabId, {}, function(){
// un-pin the current tab
chrome.tabs.update(currentTab.id, {pinned: false});
});
});