Как я понимаю, веб-сервер будет отправлять информацию p3p в браузер, но будет ли браузер затем представлять эти данные в движок javascript через какой-то API?
Нет - информация P3P не предоставляется JavaScript и, как правило, очень мало влияет на поведение браузера в целом, кроме нескольких странных крайних случаев в MSIE.