Вычисление обобщенного среднего для экстремальных значений p

Question

Как вычислить обобщенное среднее для экстремальных значений p (очень близких к 0 или очень больших) с разумной вычислительной ошибкой?

Answer 1

Я подозреваю, что если вас интересуют очень большие или маленькие значения p, лучше всего выполнить некоторую форму алгебраической манипуляции с формулой обобщенного среднего, прежде чем вводить числовые значения.

Например,в пределе малых p можно показать, что обобщенное среднее стремится к n-му корню произведения x_1 * x_2 * ... x_n.Члены более высокого порядка в p включают суммы и произведения log (x_i), которые также должны быть относительно численно устойчивы для вычисления.На самом деле, я считаю, что разложение первого порядка по p имеет простое отношение к дисперсии log (x_i):

Если применить этоФормула для набора из 100 случайных чисел, взятых равномерно из диапазона [0,2, 2], можно получить такую ​​тенденцию:

, которая здесь показываетасимптотическая формула становится довольно точной для p менее чем приблизительно 0,3, а простая формула не работает только тогда, когда p меньше чем приблизительно 1e-10.

В случае больших p преобладает тот x_i, который имеет наибольшеевеличина (давайте назовем этот индекс i_max).Можно преобразовать обобщенную формулу среднего значения в следующую форму, которая имеет меньшее патологическое поведение при больших значениях p:

Если это применяется (с использованием стандартныхподпрограммы numpy, включающие numpy.log1p ) для еще 100 равномерно распределенных выборок в течение [0.2, 2.0], можно обнаружить, что переставленная формула в основном точно соответствует простой формуле, но остается действительной для гораздо больших значений pкоторую простая формула переполняет при вычислении степеней x_i.

(Обратите внимание, что на левом графике синяя кривая для простой формулы сдвинута вверхна 0,1, чтобы можно было увидеть, где он заканчивается из-за переполнения. При p менее 1000, две кривые в противном случае были бы неразличимы.)

Answer 2

Согласно вашей ссылке , предел для p , переходящий к 0, является средним геометрическим, для которого получены границы .

Предел для p , идущий в бесконечность, является максимальным.

Answer 3

Я боролся с той же проблемой. Вот как я справился с этим: Пусть gmean_p (x1, ..., xn) будет обобщенным средним значением, где p является действительным, но не 0, а x1, ..xn неотрицательным. Для M> 0 мы имеем gmean_p (x1, ..., xn) = M * gmean_p (x1 / M, ..., xn / M), из которых последняя форма может использоваться для уменьшения ошибки вычислений. Для больших p я использую M = max (x1, ..., xn), а для p, близких к 0, я использую M = mean (x1, .. xn). В случае M = 0, просто добавьте к нему небольшую положительную константу. Это сделало всю работу за меня.

Answer 4

Вот подсказка:

Сначала преобразуйте все свои числа в представление в базе p.Теперь, чтобы поднять до степени 1 / p или p, вам просто нужно сдвинуть их - так что вы можете очень легко сделать все силы без потери точности.

Определите среднее значение в базе p, а затем конвертируйтерезультат возвращается к основанию два.

---

Если это не сработает, еще менее практичная догадка:

Попробуйте выработать дискретное преобразование Фурье и связать его с дискретным преобразованием Фурье.преобразование входного вектора.

Answer 5

Я думаю, что ответом здесь должно быть использование рекурсивного решения.Таким же образом, что означает (1,2,3,4) = среднее (среднее (1,2), среднее (3,4)), вы можете выполнить этот тип рекурсии для обобщенных средних.Это выгодно для вас тем, что вам не нужно делать столько сумм действительно больших чисел, и вы уменьшаете вероятность создания переполнения.Кроме того, другая опасность при работе с числами с плавающей запятой заключается в сложении чисел очень разных величин (или вычитании чисел очень похожих величин).Поэтому, чтобы избежать подобных ошибок округления, может быть полезно отсортировать ваши данные, прежде чем пытаться вычислить обобщенное среднее.