Я запустил ваш образец, и когда я нажал на кнопку, текстовое поле заполнилось именем, как и ожидалось.
Единственная проблема, с которой я столкнулся, заключалась в том, что ListView не заполнялся списком целых чисел. Это связано с тем, что XAML не очень удобен с универсальными шаблонами, если вы изменяете его для привязки к массиву, вместо этого он работает. WPF поддерживает точное использование XAML, он использует универсальные шаблоны в XAML, который не поддерживается. Как указывает Мэтт Хэмилтон в своем ответе, MyIntegers просто нужно сделать пророчеством, добавив в него аксессор get.
Добавить C # Свойство:
public int[] MyInts { get { return MyIntegers.ToArray(); } }
XAML:
<ListBox Grid.Row="2" ItemsSource="{Binding Path=MyInts}" />