В данный момент вы используете механизм привязки OneWay по умолчанию.Это означает, что ваш объект может обновлять пользовательский интерфейс, но пользовательский интерфейс не может обновлять объект.
Ваша привязка должна использовать привязку «TwoWay», чтобы пользовательский интерфейс мог уведомлять объект об изменениях:
<DataTemplate>
<local:spriteRadioButton Text="{Binding text,Mode=TwoWay}" Sprites="{Binding Path=DataContext.UISprites, ElementName=questionField,Mode=TwoWay}" GroupName="{Binding Path=DataContext.QuestionTitle, ElementName=questionField,Mode=TwoWay}" IsChecked="{Binding selected,Mode=TwoWay}" />
</DataTemplate>
Имейте в виду, эти изменения обновят ваш объект ответов.Если вы хотите изменить сам объект «Ответы», это также необходимо пометить как привязку TwoWay.