В style.css у вас есть этот класс, который вызывает незащищенное фоновое изображение:
.menu li a{
background:#136733 url("http://i47.tinypic.com/qp53sw.jpg") bottom right no-repeat;
color:#FFFFFF;
display:block;
font-size : 14px;
font-family : Arial, Helvetica, san-serif;
line-height:25px;
margin:0px;
padding:0px 9px;
text-align:center;
text-decoration:none;
}
Похоже, что хост-сайт не предлагает https.Можете ли вы скопировать его локально на ваш веб-сервер и сделать ссылку относительной?