Для воспроизведения SWF-файлов вы должны включить плагины:
_webview.getSettings().setPluginState(PluginState.ON);
и если ваш .html-файл использует javascript:
_webview.getSettings().setJavaScriptEnabled(true);
РЕДАКТИРОВАТЬ, чтобы ответить на комментарий
В вашей ситуации вам нужно использовать свое собственное веб-представление в тот момент, когда ссылки перенаправляются в браузер:
_webview.setWebViewClient(new DownloadWebViewClient());
public class DownloadWebViewClient extends WebViewClient{
@Override
public boolean shouldOverrideUrlLoading(WebView view, String url) {
return false; // Allows your webview to handle clicked links
}
}