Или я должен вытащить в свой домашний репозиторий, а затем подтолкнуть к моей вилке на битбакете?
Да, но сначала вы должны сделать запрос на извлечение в Bitbucket.Затем вы можете утвердить запрос на извлечение, и наборы изменений будут извлечены на самом Bitbucket без необходимости выключать и загружать их.