Спасибо, это привело меня на правильный путь.
Удаление привязок не совсем сработало, просто остановило таблицу, выполнив действие по умолчанию, поэтому нажатие клавиши было полностью проигнорировано.
Однако добавление этого в саму таблицу работало нормально:
component.getInputMap().put(KeyStroke.getKeyStroke(KeyEvent.VK_C, ActionEvent.CTRL_MASK), "copy");
component.getActionMap().put("copy", actions.copyAction);
(повторяется для каждой желаемой клавиши, конечно). Должен быть синхронизирован с любыми изменениями самого главного меню, но я не вижу способа избежать этого с помощью любого метода.