Ваш пример должен работать для # 1.
слово находится где угодно в имени:
NSString *searchfilter = [NSString stringWithFormat:@"*%@*",savedSearchTerm_];
NSPredicate *filter = [NSPredicate predicateWithFormat:@"word like[c] %@", searchfilter];
[fetchRequest setPredicate:filter];
имя начинается со слова:
NSString *searchfilter = [NSString stringWithFormat:@"%@*",savedSearchTerm_];
NSPredicate *filter = [NSPredicate predicateWithFormat:@"word like[c] %@", searchfilter];
[fetchRequest setPredicate:filter];