Если вы хотите проверить существование, используйте:
if ($("input[name=contest_open]").val())
только.
С другой стороны, если вы намереваетесь проверить содержимое на «true», вы можете использовать
if ($("input[name=contest_open]").val() == "true")
По той простой причине, что функция val () возвращает строку.