JTextArea имеет методы read (...) и write (...), которые вы должны использовать.
JFileChooser предназначен только для получения имени файла и не имеет ничего общего с файловым вводом / выводом.
Копирование данных - это отдельная история, и Эндрю дал вам ссылки на руководство по использованию файлового ввода-вывода.