Вам необходимо указать обратную косую черту:
SqlConnection connection =
new SqlConnection(@"Data Source=Brandon-PC\brandon;Initial Catalog=STATUS;integrated security=SSPI;persist security info=False;Trusted_Connection=Yes;");
или
SqlConnection connection =
new SqlConnection("Data Source=Brandon-PC\\brandon;Initial Catalog=STATUS;integrated security=SSPI;persist security info=False;Trusted_Connection=Yes;");
Кроме того, ваш код должен быть:
string clientname = TextBox1.Text;
string sqlquery = "INSERT INTO [STATUS] (Client_Name) VALUES (@Client_Name)";
SqlCommand command = new SqlCommand(sqlquery, connection);
command.Parameters.AddWithValue("@Client_Name", clientname);
command.ExecuteNonQuery();
[Примечание: я полагаю, что в текстовых параметрах запроса все в порядке с undescores; Я никогда не использую их.]
[Также обратите внимание: вам не нужны integrated security=SSPI
И Trusted_Connection=Yes
. Это синонимы; достаточно одного.]