Предполагая, что ваша цель - продолжить выполнение команды rsync, самое простое - потерять работу. Есть два способа сделать это:
(rsync foo bar &)
Выше будет создано задание, отсоединенное от вашего терминала в начале, поэтому закрытие терминала не остановит его.
rsync foo bar & # or without &, then Ctrl-Z to stop, then "bg" to background
disown
Приведенное выше отключит работающее задание, поэтому вы можете закрыть терминал, не останавливая его.
Наконец, вы можете использовать программу screen(1)
или аналогичную, чтобы сохранить сеанс терминала живым и невредимым (и его можно возобновить) даже после завершения сеанса Putty.