Я думаю, я выяснил, что случилось. Я нашел ссылку (к сожалению, я не помню, где), где упоминается, что общий хостинг Go Daddy использует балансировщик нагрузки и несколько серверов для обслуживания сайта. Несмотря на то, что файл базы данных отображается на диске, смонтированном с буквой диска, очевидно, он должен находиться на файловом сервере, который используется всеми веб-серверами.
Использование SQL CE несколькими клиентами по сети является неподдерживаемой конфигурацией. Когда я обновил SQL Compact до экземпляра SQL Server, предоставленного Go Daddy, проблема (и другая проблема согласованности данных, о которой я не упомянул выше) исчезла.
Я немного удивлен, что не нашел эту проблему, когда гуглил. Microsoft позиционирует SQL Compact как хороший бэкэнд для небольшого веб-сайта. Если я прав, это кажется существенной ответственностью в этом отношении.