Посмотрите connectionstrings.com для всех возможных вариантов - очень удобный ресурс, которым я пользуюсь все время
В частности, вы хотите этот формат:
Data Source=myServerAddress;Initial Catalog=myDataBase;Integrated Security=SSPI;
Это, конечно, работает, только если рассматриваемая учетная запись домена является той, которая открывает соединение.
Нет простого способа соединиться с произвольными учетными данными, но вы можете выдать себя за соответствующего пользователя и затем соединиться.
Это может быть немного болезненно. Альтернативой, если пользователи находятся в локальной сети (или вы контролируете их настройки браузера), является использование аутентификации Kerberos на вашем сайте. Страницы будут обслуживаться с разрешениями соответствующего пользователя - тогда вы можете использовать приведенную выше строку подключения, и IIS подключится к БД с соответствующими учетными данными для каждого пользователя. Это особенно полезно с точки зрения безопасности, поскольку БД может проводить аудит для каждого пользователя, а разрешения могут быть для каждого пользователя / строки / столбца, а не только для каждого приложения.