Какую веб-структуру / язык вы используете? Если вы используете RoR, Sinatra или любой другой основанный на рейке фреймворк, вы можете использовать heroku.com . Если вы используете asp.net, вы можете использовать appharbor.com , наконец, если вы используете php, вы можете использовать phpfog.com .
Что общего у этих хостинг-провайдеров, так это то, что вы развертываете веб-сайт, передавая свой код с помощью git, в то время как вы не будете развертывать напрямую с github, вы можете просто добавить один из вышеупомянутых хостов в свой удаленный список (в дополнение на github), а затем нажмите на этот пульт, когда вы хотите развернуть.
Другим решением было бы добавить ловушку post-receive-hook к github, которая затем срабатывает всякий раз, когда вы нажимаете на github, в этой ловушке post-recieve вы можете указать веб-хосту вытащить из репо. Однако для этого требуется, чтобы на веб-сервере был установлен git, а также какой-то веб-интерфейс для пересылки с помощью post-recieve-hook.