Ваше имя входного элемента должно быть массивом, таким как complete_goal[]
.
<input style="float: right;" type="checkbox" name="complete_goal[]" value="61">Milk</input>
Вы можете обновить их все в одном запросе, используя WHERE note_id IN (<?php echo implode( ',', $_POST['completed_goal'] ); ?>)
.
$query = mysql_query( "UPDATE `notes` SET `complete` = '1' WHERE `note_id` IN (" . implode( ',', $_POST['completed_goal'] ) . ")" );