Из документации вы увидите, что для продолжения запроса в фоновом режиме вам необходимо специально запросить это действие с помощью;
[request setShouldContinueWhenAppEntersBackground:YES];
Вывод: если вы не включите его, загрузка будет отменена. Вам не нужно предпринимать никаких конкретных действий для этого.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Глядя на источник, похоже, что загрузка не будет явно отменена ASIHTTPRequest, но не завершится, потому что операционная система, скорее всего, сделает это за вас. Если вы действительно хотите быть уверены, что он отменен, возможно, из-за чего-то неприятного, если вы этого не сделаете, вы всегда можете использовать;
[request cancel];
при переходе на задний план.
Лично я предпочитаю контролировать происходящее и явно отменяю вещи, которые я не ожидал закончить из-за перехода на задний план. Это чище и безопаснее, потому что вы на 100% знаете, что происходит.