Один из подходов состоит в том, чтобы получить экземпляр менеджера файлов cookie WebView и скопировать его файлы cookie в хранилище файлов cookie вашего HTTP-клиента, чтобы HTTP-клиент использовал файлы cookie, установленные при входе в систему при последующем общении с Facebook.Примерно так ...
CookieManager cookieManager = CookieManager.getInstance();
String cookieString = cookieManager.getCookie("m.facebook.com");
CookieStore mCookieStore = new BasicCookieStore();
mCookieStore.setCookies(cookieString, ".facebook.com", "//");
mCookieStore.sync();
Обратите внимание, что getCookie получает только часть имени = значение файла cookie, поэтому вам нужно будет добавить имя домена и путь, чтобы файл cookie работал в клиенте HTTP.
Другим подходом было бы использование опции единого входа (SSO) в функции авторизации SDK Facebook, которая не требует входа пользователя в систему, если приложение Facebook присутствует и вошло в систему.