Сначала вам нужно выяснить, что вы ищете.Трудно искать черного кота в темной комнате, особенно если его там нет.
Откройте инструменты разработчика Chrome на интересующей вас странице и откройте вкладку Ресурсы.Вы видите свое печенье под "Cookies"?Если да, то вы сможете прочитать его своим методом.Если нет, то проверьте URL вашей страницы - может быть, он передается в качестве параметра url?Если нет, то, возможно, сессия используется только для запросов ajax?Может быть, он вообще не используется?
Сначала нужно найти его вручную, а затем программно.Сессии бывают разных форм и размеров, каждый сайт имеет свой способ его реализации.Вы не можете создать расширение, которое читает сеанс для всех сайтов.
Ваш подход в значительной степени подходит, просто есть простой способ проверки объектов с помощью консоли вместо оповещения:
chrome.cookies.getAll({domain: "stackoverflow.com"}, function(cookies){
console.log(cookies);
});
Нажмите на ссылку background.html на вкладке расширений и проверьте консоль.