Вы должны поместить $ new_string в кавычки.
ПРИМЕЧАНИЕ Это очень плохая практика, и вы всегда должны экранировать все переменные, передаваемые в SQL.Вы должны действительно прочитать SQL-инъекцию и другие вопросы безопасности.
Также, если вы хотите сопоставить $ new_string где-нибудь в tag_array (что вам, скорее всего, нужно), вам также нужно добавить знак доллара перед ним.Вы можете прочитать больше в Справочное руководство по MySQL .
Итак, в конце концов:
"SELECT tag_array, name, id FROM details WHERE tag_array LIKE '%" . mysql_real_escape_string($new_string) . "%'"