Если вы работаете с куки, просто не устанавливайте срок действия. Таким образом, Cookie будет удален, если вы закроете браузер. С Javascript вы можете попытаться использовать событие onunload или onbeforeunload.
JS:
window.onunload = function() {
document.cookie = 'mycookie=myvalue; expires=Thu, 01-Jan-70 00:00:01 GMT;';
};
или, может быть, вы могли бы отправить последний XHR-запрос в функции выгрузки. Но я никогда не пробовал, поэтому не могу сказать, действительно ли это сработает.